走进无限美妙的数学世界--斐波那契数列

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　　斐波那契数列，又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、……在数学上，斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义：F0=0，F1=1，Fn=F(n-1)+F(n-2)(n>=2，n∈N*)在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用，为此，美国数学会从1960年代起出版了《斐波纳契数列》季刊，专门刊载这方面的研究成果。

　　一、 概述

　　波浪理论的数学基础，就是菲波纳奇数列。菲波纳奇数列还是黄金分割、黄金矩形、对数螺线的数学基础，在音乐、艺术、建筑和生物学中，都有它们的影子。

　　一个完整的周期包含8浪——5浪上升，3浪下降。在周期的上升阶段，每一浪均以数字编号。1浪、3浪和5浪是上升浪，称为主浪，而2浪和4浪的方向与上升趋势的方向相反，因为2浪和4浪分别是对1浪和3浪的调整，故称之为调整浪。上述五浪完成后，出现了一个三浪形式的调整。这三个波浪分别用字母a,b,c 来表示。把这8个小浪再细分，共得到34个更小的浪。把34个小浪再细分到其下一层次，就得到144个小浪。

　　上面提到的数目——1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144——并不是偶然出现的。它们是菲波纳奇数列的一部分，而这个数列乃是艾略特波浪理论的数学基础。

　　二、 斐波那契数列

　　斐波那契数列由十三世纪意大利数学家菲波纳奇(Leonardo Fibonacci)发现。

　　具体数列为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，……

　　数列的公式：A0=A1=1;An=An-1+An-2　(n=2，3，4，……)

　　用语言来表达的话，就是：从数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和。

　　这个数列有许多有趣的性质，并不只是在它的数字之间存在连续性关系这一点。

　　1. 任意两个相邻的数字之和，等于两者之后的那个数字。

　　例如：1+1=2，1+2=3，2+3=5，3+5=8，5+8=13，8+13=21，13+21=34，21+34=55，34+55=89，55+89=144，......往下依此类推。

　　2.除了开始的四个数字外，任意一个数字与相邻的后一个数字之比，均趋向于0.618。

　　例如：1/1=1.00，1/2=0.50， 2/3=0. 67， 3/5=0.60， 5/8=0.625，8/12=0.615， 13/21=0.619，往下依此类推。

　　注意，上述比值围绕着0.618上下波动，越往后，波动幅度越小。

　　3.任意一个数字与相邻的前一个数字的比值约等于1.618.或者说是0.618的倒数。

　　例如：13/8=1.625， 21/13=1.615， 34/21=1.619。数字越大，则相应的两种比数越分别接近0.618和1.618。

　　4. 隔一个数字相邻的两个数字的比值趋向于2.618，或者其倒数0.382。

　　例如：13/34=0.382， 34/13=2.615。

　　5.除1,2外,任何数列中的数字*4再加一个数列中的数字可得另一个菲波纳奇数列.

　　例如：3*4=12+1=13;5*4+20+1=21

　　6.前相邻数字之和+1=最后一个加数后隔一的菲波纳奇数字.

　　例如：1+1+2+3+5+8=20+1=21;1+1+2+3+5+8+13=33+1=34

　　7.交替原则

　　例如：3×3=2×5-1;5×5=3×8+1;8×8=5×13-1;13×13=8×21+1

　　8.神奇数字的平方还具有神奇关系，其特征就是两相隔神奇数字的高位神奇数字的平方减去低位神奇数字的平方之差必然得出另一个神奇数字。

　　例如：5×5-2×2=21 8×8-3×3=55 13×13-5×5=144…

　　三、斐波那契比数和价格回撤

　　一个完整的周期包含8浪，其中5浪上升，3浪下降——这些都是菲波纳奇数字。再往以下两个层次细分，分别得到34浪和144浪——它们也是菲波纳奇数字。然而，菲波纳奇数列在波浪理论中的应用，并不只在数浪这一点上，在各浪之间，还有个比例的关系问题。下面列举了一些最常用的菲波纳奇比数：

　　1.三个主浪中只有一个浪延长，另外两者的时间和幅度相等。如果5浪延长，那么，1浪和3浪大致相等，如果3浪延长，那么1浪和5浪趋于一致。

　　2.把1浪乘以1.618，然后，加到2浪的底点上，可以得出3浪起码目标。

　　第3浪最小目标涨幅=(1浪涨幅*1.618)+2浪底

　　3.把1浪乘以3.236(=2*1.618)，然后分别加到1浪的顶点和底点上，大致就是5浪的最大和最小目标。

　　由1浪涨幅测算出5浪上涨目标区域A的公式:

　　5浪最低理论高度=1浪底点+1浪涨幅*2*1.618

　　5浪最高理论高度=1浪顶点+1浪涨幅*2*1.618

　　由1浪至3浪测算出5浪上涨目标区域B的公式:

　　5浪最低理论高度=3浪顶+(3浪顶点-1浪底点)*0.382

　　5浪最高理论高度=3浪顶+(3浪顶点-1浪底点)*0.618

　　4.如果1浪和3浪大致相等，我们就预期5浪延长。其价格目标的估算方法是，先量出从1浪底点到3浪顶点的距离，再乘以1.618，最后，把结果加到4浪的底点上。

　　5浪延长高度=4浪底+(3浪顶点-1浪底点)*1.618

　　5.在调整浪中，如果它是通常的5-3-5锯形调整，那么c浪常常与a浪长度相等。

　　6.c浪长度的另一种估算方法是，把a浪的长度乘以0.618，然后从a浪的底点减去所得的积。

　　c浪=a浪底点-a浪长度*0.618

　　7.在3-3-5平台形调整的情况下，b浪可能达到乃至超过a浪的顶点，那么，c浪长度约等于a浪长度的1.618倍。

　　c浪=b浪高点-a浪长度*1.618

　　8.在对称三角形中，每个后续浪都约等于前一浪的0.618倍。

　　四、斐波那契百分比回撤

　　通过百分比回撤，我们也可以估算出价格目标。在回撤分析中，最常用的百分比数是61.8%(通常近似为 62%)，38%和50%。市场通常按照一定的可预知的百分比例回撤——最熟悉的是33%，50%以及67%。菲波纳奇数列对上述数字稍有调整。在强劲的趋势下，最小回撤通常在38%上下。而在脆弱的趋势下，最大回撤百分比通常为62%。

　　在菲波纳奇数列里，除了头四个数字外，菲波纳奇比数趋向于0.618。头三个比数分别是1/1(100%)，1/2(50%)，以及2/3(67%)。很多人在学习艾略特理论之前都不清楚，自己所熟知的50%回撤，其实也是一个菲波纳奇比数。三分之二回撤也一样(三分之一回撤作为一个间隔菲波纳奇比数，也是艾略特理论中的一部分)，对先前牛市或熊市的完全回撤(100%)位置，也标志着重要的支撑或阻挡区。

　　五、 斐波那契时间周期

　　毫无疑问，斐波那契时间关系是存在的，只不过预测这方面关系是较为困难的。菲波纳奇时间目标是通过向未来数数，计算显著的顶和底的位置。在日线图上，分析者从重要的转折点出发，向后数数到第5、第8、第13、第21、第34、第55、或者第89个交易日，预期未来的顶或底就出现在这些“菲波纳奇日”上。在周线图、月线图、甚至年线日上，我们都可以应用本技术。在周线日上，分析者按照菲波纳奇数列，向后逐周探求时间目标。时间窗的分析也是应用菲波纳奇数列，寻找时间窗开启、行情发生转折的日子。

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